已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2）．则b−2a−1的取值范围是(14，1)(14，1)．

Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的两个实数根，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．则(b−2)/(a−1)的取值范围是

((1)/(4)，1)

((1)/(4)，1)

．

Answer 1

解；∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的两个实数根，
∴设函数f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0

f(1)＜0

f(2)＞0

，即

2b＞0

a+2b+1＜0

2a+2b+4＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=(b−2)/(a−1)，则z的几何意义是区域内的点P（a，b）到定点A（1，2）两点之间斜率的取值范围，
由图象可知当P位于点B（-3，1）时，直线AB的斜率最小，此时k AB＝(1−2)/(−3−1)＝(1)/(4)，
可知当P位于点D（-1，0）时，直线AD的斜率最大，此时kAD＝(0−2)/(−1−1)＝1，
∴(1)/(4)＜z＜1，
则(b−2)/(a−1)的取值范围是((1)/(4)，1)．
故答案为：((1)/(4)，1)．