（2007•揭阳二模）已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12(1−an)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：Sn＜12；（Ⅲ）设函数f（x）=log13x，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求ni＝11bi．

Question

（2007•揭阳二模）已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=(1)/(2)(1−an)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜(1)/(2)；
（Ⅲ）设函数f（x）=log(1)/(3)x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

n

i＝1

(1)/(bi)．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时，an＝(1)/(2)(1−an)−(1)/(2)(1−an−1)＝−(1)/(2)an+(1)/(2)an−1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1
∴(an)/(an−1)＝(1)/(3)，----------------------------------（4分）
由S1＝a1＝(1)/(2)(1−a1)得a1＝(1)/(3)
∴数列{a_n}是首项a1＝(1)/(3)、公比为(1)/(3)的等比数列，
∴an＝(1)/(3)×((1)/(3))n−1＝((1)/(3))n------（6分）
（Ⅱ）证明：由Sn＝(1)/(2)(1−an)得Sn＝(1)/(2)[1−((1)/(3))n]---------------------------------（8分）
∵1−((1)/(3))n＜1，∴(1)/(2)[1−((1)/(3))n]＜(1)/(2)
∴Sn＜(1)/(2)---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）∵f(x)＝log(1)/(3)x，
∴bn＝log(1)/(3)a1+log(1)/(3)a2

作业帮用户 2017-10-13 举报