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如图,已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点.(1)求证:四边形PMEN是平行四边形;(2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形;(3)四边形PMEN
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如图,已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点. (1)求证:四边形PMEN是平行四边形; (2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形; (3)四边形PMEN有可能是矩形吗?若有可能,求出AP的长;若不可能,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点, ∴ME是PC的中位线,NE是PD的中位线, ∴ME ∥ PC,EN ∥ PD, ∴四边形PMEN是平行四边形; (2)当AP=5时, 在Rt△PAD和Rt△PBC中,
∴△PAD≌△PBC, ∴PD=PC, ∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点, ∴NE=PM=
∴PM=ME=EN=PN, ∴四边形PMEN是菱形; (3)四边形PMEN可能是矩形. 若四边形PMEN是矩形,则∠DPC=90° 设PA=x,PB=10-x, DP=
DP 2 +CP 2 =DC 2 16+x 2 +16+(10-x) 2 =10 2 x 2 -10x+16=0 x=2或x=8. 故当AP=2或AP=8时,四边形PMEN是矩形. |
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