宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火

Question

宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计．
（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近，和远火星点高度h_远．
（2）设飞船原来的运动速度为v₀，试计算新轨道的运行周期T．

Answer 1

（1）设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为v．
因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为(1)/(2)r0v0，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P点的面积速度(1)/(2)r0vpsinθ（P为圆和椭圆的交点），
由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星的面积速度(1)/(2)rv，
故(1)/(2)r0v0=(1)/(2)r0vpsinθ=(1)/(2)rv
即　r₀v₀=rv　　       　  ①
由机械能守恒定律　(1)/(2)mv2−G(Mm)/(r)＝(1)/(2)m(

v

2 0

+a2

v

2 0

)−G(Mm)/(r0)                ②
飞船沿原圆轨道运动时，有　G(Mm)/(r20)＝m(v20)/(r0)                                   ③
式中　r₀=R+H，r=R+h
上述三个方程消去G、M、v₀后可解得关于r的方程为(1−α2)r2−2r0r+

r

2 0

＝0
上式有两个解，大者为r_远，小者为r_近，即

r近＝(r0)/(1+α)＝(R+H)/(1+α)

r远＝(r0)/(1−α)＝(R+H)/(1−α)

故近、远火星点距火星表面的高度为h近＝r近−R＝(H−αR)/(1+α)，h远＝r远−R＝(H+αR)/(1−α)，
（2）设椭圆轨道的半长轴为a，则r_近+r_远=2a
即　　a＝(r0)/(1−α2)
飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为　　T0＝(2πr0)/(v0)
设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得　　(T)/(T0)＝((a)/(r0))3/2
故T＝T0((a)/(r0))3/2＝(2πr0)/(v0)((1)/(1−α2))3/2
T＝(2π(R+H))/(v0)((1)/(1−α2))3/2
答：（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h_近为(H−αR)/(1+α)，远火星点高度h_远为(H+αR)/(1−α)；
（2）计算新轨道的运行周期T为(2π(R+H))/(v0)((1)/(1−α2))3/2．