将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图,至少要剪几条棱?至多剪多少条?

Question

将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图,至少要剪几条棱?
至多剪多少条?

Answer 1

至少剪7条.
至多也只能剪7条（如果展开的图形是一块,而非分成两块或更多的话）.
正方体有6个面和12条棱,有8个顶点,每个顶点由三条棱相交.
展开成平面后,没有剪断的棱称为“内棱”,则它必定连接着两个面.如果有3条或3条以上的内棱相交于一点,则称其为“内点”,容易证明展开的平面中不会有内点（因为内点肯定也是原正方体的一个顶点,而这个顶点的3条棱都没有剪开,是不能展开成平面的）.
容易知道：6个正方形在平面上能最多得到7条内棱（即排成一个2行3列的长方形）,但这时出现了两个内点,补救的方法有两种：
1、拿掉中间一列两个正方形中的一个（少了3条内棱）,把它放到边上去（多出1条内棱）,共计少2条内棱,变成5条；
2、拿掉第一列和第三列中的各一个（少4条内棱）,把它们放到边上去（可多出2条内棱,注意这两个正方形不能在相互组成内棱,否则又会出现内点）,总数还是5条.
所以,展开的图形中最多只能有5条内棱,即最少有12-5=7条棱被剪开.
再看这6个正方形,要它们都连在一起,就最少要5条内棱,所以最多也只有7条棱被剪开.