已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，（1）求f（x）的表达式；（2）若f（x）>a在x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；

Question

已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）>a在x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax²+bxf（x）+x+1=ax²+（b+1）x+1f（x+1）
=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）
=f（x）+x+1∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
∴

2a+b＝b+1

a+b＝1

⇒

a＝(1)/(2)

b＝(1)/(2)

∴f(x)＝(1)/(2)x2+(1)/(2)x
（2）f（x）>a在x∈[-1，1]恒成立
∴(1)/(2)x2+(1)/(2)x>a在x∈[-1，1]恒成立
∴a<(1)/(2)(x+(1)/(2))2+(−(1)/(8))在x∈[-1，1]恒成立．
[(1)/(2)(x+(1)/(2))2−(1)/(8)]min＝−(1)/(8)(−1≤x≤1)
∴a<−(1)/(8)