（2014•东昌区二模）已知函数f（x）=ax2-4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（e+12ea

Question

（2014•东昌区二模）已知函数f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求(b)/(a)的取值范围；
（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（(e+1)/(2√(e))a，(e2+1)/(2e)a），使得m-n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）

Answer 1

（I）f′（x）=2ax-4b+(2a)/(x)=(2ax2−4bx+2a)/(x)，其中x＞0，
由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，
故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax²-4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x₁，x₂，显然a≠0，
所以

△＝16(b2−a2)＞0

x1+x2＝(2b)/(a)＞0

x1x2＝1＞0

，解得(b)/(a)＞1；
（II）由b∈（(e+1)/(2√(e))a，(e2+1)/(2e)a）得a＞0，且(b)/(a)∈（(e+1)/(2√(e))，(e2+1)/(2e)），
由（I）知f（x）存在极大值和极小值，
设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以0＜x₁＜1＜x₂，而且x1+x2＝x1+(1)/(x作业帮用户2017-10-31举报问题解析（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得(b)/(a)的取值范围；（II）由b∈（(e+1)/(2√(e))a，(e2+1)/(2e)a）得a＞0，且(b)/(a)∈（(e+1)/(2√(e))，(e2+1)/(2e)），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m-n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；名师点评本题考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查利用导数研究函数的极值及函数的单调性，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强、计算量大，能力要求高．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)