已知函数f（x）=x+ax（a>0）．（1）求函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值（直接写出结果即可）：（2）若函数g（x）=f（x2）-ax2+4x在（0，t]上是减函数，求t的最大值．

Question

已知函数f（x）=x+(a)/(x)（a>0）．
（1）求函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值（直接写出结果即可）：
（2）若函数g（x）=f（x²）-(a)/(x2)+(4)/(x)在（0，t]上是减函数，求t的最大值．

Answer 1

（1）当0(a)/(3)；
当1<a≤3时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为2√(a)，最大值为3+(a)/(3)；
当3<a<9时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为2√(a)，最大值为1+a；
当a≥9时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为3+(a)/(3)，最大值为1+a；
（2）函数g（x）=f（x²）-(a)/(x2)+(4)/(x)=x²+(4)/(x)，
则g′（x）=2x-(4)/(x2)，
若函数g（x）=f（x²）-(a)/(x2)+(4)/(x)在（0，t]上是减函数，
则g′（x）≤0恒成立，
即g′（t）=2t-(4)/(t2)≤0，
解得：t∈（0，

3

2

]，
即t的最大值为

3

2

．