求曲面x2+y2=2az包含在柱面（x2+y2）2=2a2xy内部那部分的面积．

Question

求曲面x²+y²=2az包含在柱面 （x²+y²）²=2a²xy内部那部分的面积．

Answer 1

对曲面x²+y²=2az，由dS＝√(1+zx2+zy2)dxdy，得
dS＝(1)/(a)√(a2+x2+y2)dxdy
而柱面的极坐标方程为 r²=a²sin2θ 
由对称性，只要计算相应0≤θ≤(π)/(2)的那部分曲面∑面积的2倍
∴S＝2

∫∫

dS＝(2)/(a)

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫	a√(sin2θ) 0

√(a2+r2)rdr
=(a2)/(9)(20−3π)