如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，
∵∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，

∠B=∠DCF

AB=DC

∠BAE=∠CDF

，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=EF，
∵BC=AD，
∴EF=AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2） 由（1）知：EF=AD=5，
在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，
∴DE²+DF²=EF²，
∴∠EDF=90°，
∴(1)/(2)•ED•DF=(1)/(2)EF•CD，
∴CD=(12)/(5)．