如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝−x2+2x+3的顶点为A，与x轴交B、C于两点．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）在坐标平面内存在点D，使四边形ABCD为平行四边形，求过A、C、D的抛物线C

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝−x2+2x+3的顶点为A，与x轴交B、C于两点．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）在坐标平面内存在点D，使四边形ABCD为平行四边形，求过A、C、D的抛物线C₂的表达式．

Answer 1

（1）设y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x=-或3，
∴C的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点为A的坐标为（1，4）；
（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，
①当AC为其中的一条对角线时，此时D在第一项象限，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴D的坐标为（4，4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4＝a+b+c

0＝a−b+c

4＝16a+4b+c

，
解得：

a＝−(6)/(15)

b＝2

c＝(36)/(15)

，
∴y=-(6)/(15)x²+2x+(36)/(15)；
②当AB为其中的一条对角线时，此时D在第二项象限，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD′=BC，AD′∥BC，
∴D′的坐标为（-3，4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4＝a+b+c

0＝a−b+c

4＝9a−3b+c

，
解得：

作业帮用户 2017-10-24 举报

问题解析

（1）由抛物线的解析式中的y=0可求出B，C点的坐标，把抛物线的解析式配方可求出A的坐标；
（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，在分类讨论：当AC为对角线时、AB为对角线时、C为对角线时，分别求出D的坐标，把A，C，D点的坐标代入求出其解析式即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质以及分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全，需要很好的计算能力．

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