已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1

Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA₁=2√(3)，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，点M是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线BM与平面BC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD．…（3分）（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵AB=CD=2，∠BAD=60°，...