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设n维列向量组α1,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,…,βm线性无关的充分必要条件为()A.向量组α1,…αm可由向量组β1,…,βm线性表示B.向量组β1,…,βm可由向量
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设n维列向量组α1,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,…,βm线性无关的充分必要条件为( )
A.向量组α1,…αm可由向量组β1,…,βm线性表示
B.向量组β1,…,βm可由向量组α1,…αm线性表示
C.向量组α1,…αm与向量组β1,…,βm等价
D.矩阵A=(α1,…αm)与矩阵B=(β1,…,βm)等价
A.向量组α1,…αm可由向量组β1,…,βm线性表示
B.向量组β1,…,βm可由向量组α1,…αm线性表示
C.向量组α1,…αm与向量组β1,…,βm等价
D.矩阵A=(α1,…αm)与矩阵B=(β1,…,βm)等价
▼优质解答
答案和解析
用排除法
选项A为充分非必要条件.若向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示,则一定可以推出向量组β1,…,βm线性无关,反证法:若β1,…,βm线性相关,则r(α1,…,αm)<m,这与向量组α1,…,αm线性无关矛盾.反过来不成立,当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但α1不能用β1线性表示.
选项B既非充分又非必要条件.如当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但β1不能用α1线性表示,必要性不成立;又如α1=(1,0)T,β1=(0,0)T,但β1可由α1线性表示,但β1并不线性无关,充分性不成立.
选项C为充分但非必要条件,若向量组α1,…,αm和向量组β1,…,βm等价,由α1,…,αm线性无关知,r(β1,…,βm)=r(α1,…,αm)=m,因此β1,…,βm线性无关,充分性成立;当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但α1和β1并不等价,必要性不成立.
选项D为正确选项.事实上,矩阵A=(α1,…,αm)与矩阵B=(β1,…,βm)等价⇔r(A)=r(B)⇔r(β1,…,βm)=r(α1,…,αm)=m,因此是向量组β1,…,βm线性无关的充要条件.
所以选项D是正确的.
故选:D.
选项A为充分非必要条件.若向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示,则一定可以推出向量组β1,…,βm线性无关,反证法:若β1,…,βm线性相关,则r(α1,…,αm)<m,这与向量组α1,…,αm线性无关矛盾.反过来不成立,当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但α1不能用β1线性表示.
选项B既非充分又非必要条件.如当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但β1不能用α1线性表示,必要性不成立;又如α1=(1,0)T,β1=(0,0)T,但β1可由α1线性表示,但β1并不线性无关,充分性不成立.
选项C为充分但非必要条件,若向量组α1,…,αm和向量组β1,…,βm等价,由α1,…,αm线性无关知,r(β1,…,βm)=r(α1,…,αm)=m,因此β1,…,βm线性无关,充分性成立;当m=1时,取α1=(1,0)T,β1=(0,1)T均为单个非零向量是线性无关的,但α1和β1并不等价,必要性不成立.
选项D为正确选项.事实上,矩阵A=(α1,…,αm)与矩阵B=(β1,…,βm)等价⇔r(A)=r(B)⇔r(β1,…,βm)=r(α1,…,αm)=m,因此是向量组β1,…,βm线性无关的充要条件.
所以选项D是正确的.
故选:D.
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