已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当t=2时，求函数f（x）的定义域；（2）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，

Question

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当t=2时，求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当t=2时，f（x）=lg（x²+2x+1），
x²+2x+1＞0⇒f（x）的定义域为{x|x≠-1，且x∈R}；
（2）令g（x）=x²+tx+1对称轴为x=-(t)/(2)，
①当-(t)/(2)≤0，即t≥0时，g（x）_min=g（0）=1∴f（x）_min=0
②当0＜-(t)/(2)＜2，即-4＜t＜0时，g（x）_min=g（-(t)/(2)）=1-(t2)/(4)，考虑到g（x）＞0，则
1°-2＜t＜0，f（x）_min=f（-(t)/(2)）=lg（1-(t2)/(4)），
2°-4＜t≤-2，没有最小值．
③当-(t)/(2)≥2，即t≤-4时，g（x）_min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时f（x）=

lg(1−(t2)/(4))，−2＜t＜0

0，t≥0

．
（3）假设存在，则由已知得

a2+ta+1＝a

b2+tb+1＝b

0＜a，b＜2

a≠b

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
等价于t=-（(1)/(x)+x）+1，x∈（0，2），
t′=-1+(1)/(作业帮用户2016-12-06举报问题解析（1）由x2+2x+1＞0即可得到f（x）的定义域为{x|x≠-1，且x∈R}；（2）令g（x）=x2+tx+1，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论①-(t)/(2)≤0②0＜-(t)/(2)＜2③-(t)/(2)≥2；（3）假设存在，则由已知得a2+ta+1＝ab2+tb+1＝b0＜a，b＜2a≠b等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，分离参数，得t=-（(1)/(x)+x）+1，x∈（0，2），运用导数求出右边的最值和范围，结合图象即可判断．名师点评本题考点：抽象函数及其应用；函数的定义域及其求法．考点点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用，本题的综合性比较强．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)