设函数f（x）在区间I上有定义，试证明：f（x）在I上一致连续的充分必要条件是对区间I上任意两数列{xn}与{yn}，当limn→∞（xn-yn）=0时，有limn→∞（f（xn）-f（yn））=0．

Question

设函数f（x）在区间I上有定义，试证明：f（x）在I上一致连续的充分必要条件是对区间I上任意两数列{x_n}与{y_n}，当

lim

n→∞

（x_n-y_n）=0时，有

lim

n→∞

（f（x_n）-f（y_n））=0．

Answer 1

证明：
必要性：设f（x）在I上一致连续，则对∀ε>0，∃δ>0，当x₁，x₂∈I，|x₁-x₂|<δ时，有

.

f(x1)-f(x2)

.

<ɛ．
由

lim

n→∞

(xn-yn)=0，对于上述ε>0，∃N∈N^*，当n>N时，有|x_n-y_n|<δ，
从而有|f（x_n）-f（y_n）|<ε，
所以

lim

n→∞

(f(xn)-f(yn))=0．
充分性：用反证法
 假设f（x）在I上不一致连续，则∃ε₀>0，对∀δ>0，存在x_δ，y_δ∈I，
尽管|x_δ-y_δ|<δ，但|f（x_δ）-f（y_δ）|≥ε₀，
不妨取δ=(1)/(n)，存在x_n，y_n∈I，
尽管|xn-yn|<(1)/(n)，但|f（x_n）-f（y_n）|≥ε₀，
上述{x_n}，{y_n}⊂I，满足

lim

n→∞

(xn-yn)=0，
但是|f（x_n）-f（y_n）|≥ε₀，与条件

lim

n→∞

(f(xn)-f(yn))=0，矛盾．
所以假设不成立．