将矩形ABCD折叠,使点A和点C重合,折痕为EF,EF分别交AD,BC于E,F.（1）求证四边形AECF是菱形；（2）若AB=6cm,BC=8cm,求折痕EF的长.

Question

将矩形ABCD折叠,使点A和点C重合,折痕为EF,EF分别交AD,BC于E,F.（1）求证四边形AECF是菱形；（2）若AB=6cm,BC=8cm,求折痕EF的长.

Answer 1

(1)设EF与AC交于点O,则OA=OC,EF⊥AC
∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO
又OA=OC,∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
又∵AC⊥EF
∴AECF是菱形.
（2）设DE=x,则AE=CE=8-x
∴x²+6²=(8-x)²,解得x=7/4
∴EF²=6²+(8-2x)²=36-81/4=63/4
∴EF=3√7/2