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用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*
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用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*
▼优质解答
答案和解析
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
证明：
1）当n=1时,原式=1+8+27=36=4*9命题成立
2）假设当n=k时,命题成立
即k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
那么当n=k+1时,
（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3
=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+9k^2+27k+27
=[(k+1)^3+(k+2)^3+k^3]+9(k^2+3k+3)
∵k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
9(k^2+3k+3)能被9整除
∴（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3能被9整除
即当n=k+1时命题成立
由1）2）可知对于任意的正整数n原命题恒成立
证明：
1）当n=1时,原式=1+8+27=36=4*9命题成立
2）假设当n=k时,命题成立
即k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
那么当n=k+1时,
（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3
=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+9k^2+27k+27
=[(k+1)^3+(k+2)^3+k^3]+9(k^2+3k+3)
∵k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
9(k^2+3k+3)能被9整除
∴（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3能被9整除
即当n=k+1时命题成立
由1）2）可知对于任意的正整数n原命题恒成立
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