在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证B1O垂直平面PAC?求速解

Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证B1O垂直平面PAC?求速解

Answer 1

利用赋值法,令AB＝2.∵AC⊥平面BB1O,∴B1O⊥AC.容易证得：∠OBB1＝∠ODP＝∠PD1B1＝∠B1A1D1＝90°.∴由勾股定理,有：B1O^2＝BB1^2＋BO^2＝4＋（BD/2）^2＝4＋（AD^2＋AB^2）/4＝4＋（4＋4）/4＝6.PO^2＝PD^2＋DO^2＝（DD1/2）^2＋BO^2＝1＋2＝3.PB1^2＝PD1^2＋B1D1^2＝PD^2＋（A1D1^2＋A1B1^2）＝1＋（4＋4）＝9.∴B1O^2＋PO^2＝PB1^2,∴由勾股定理的逆定理,有：B1O⊥PO.由B1O⊥AC、B1O⊥PO、AC∩PO＝O,得：B1O⊥平面PAC.