如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.求PC与平面EFD所成角的正切值.

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
求PC与平面EFD所成角的正切值.

Answer 1

几何法
连接DE
∵PD⊥面ABCD,
∴PD⊥DC,PD⊥BC
∵PD=DC
E是PC的中点
∴DE⊥PC(三线合一)
∵底面ABCD是正方形
∴BC⊥CD
∵PD⊥BC
∴BC⊥面ADC
∴BC⊥DE
∴DE⊥面PBC
∴DE⊥EF
∴∠PEF即PC与平面EFD所成角
tan∠PEF=PF/EF
∵∠PFE=∠PCB=90°
∴△PFE∽△PCB
∴∠PEF=∠ABC
∴tan∠PEF=tan∠ABC=AC/CB=2√2/2=√2
PC与平面EFD所成角的正切值=√2