正方体AC1中,E是CC1的中点,求面A1BD与面BED所成的二面角的大小请用作证算打的方法。

Question

正方体AC1中,E是CC1的中点,求面A1BD与面BED所成的二面角的大小
请用作证算打的方法。

Answer 1

连结点A、C交BD于点F,连结点A1、C1交B1D1于点G.因为EF垂直BD,A1F也垂直BD,所以∠A1FE是面A1BD与面BED所成的角.设此正方体的棱长是1.
由题意可知：∠A1FE=∠A1FG+∠EFG
在直角三角形A1FG中,∠A1GF=90°,A1G=(√2)/2,GF=1
所以tan∠A1FG= A1G/ FG=(√2)/2,所以∠A1FG=arctan[(√2)/2]
在三角形EFG中,EG=EF=√(CF2+CE2)=(√6)/2,FG=1,所以cos∠EFG=(EF2+GF2-EG2)/(2×EF×GF)= (√3)/3,所以∠EFG=arccos[(√3)/3]
所以∠A1FE= arctan[(√2)/2]+ arccos[(√3)/3]
即面A1BD与面BED所成的二面角的大小是：arctan[(√2)/2]+ arccos[(√3)/3]
注释：
(1)上文中的EF2、GF2、EG2分别是EF的平方、GF的平方、EG的平方.
(2)此题的答案是唯一的,但答案的写法可以不一样,如有的人可以把正切写成余弦的形式,有的人把余弦的形式写成正切的形式等等,当然,符号改变以后符号后面的数字也应跟着改变.