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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F.F分别是棱AA1,CC1的中点,求证D1,E,F,B共面
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F.F分别是棱AA1,CC1的中点,求证D1,E,F,B共面
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答案和解析
∵D1、E、F三点不共线,
∴D1、E、F三点确定一平面α,又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行,故分别延长D1E、DA相交于G,则G∈直线D1E⊂平面α,
∴G∈α.同理,设直线D1F与DC的延长线交于点H,则H∈平面α.
又∵点G、B、H均属于平面AC,且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1,从而AG=AD=AB,
∴△AGB为等腰直角三角形,
∴∠ABG=45°,同理∠CBH=45°,
又∵∠ABC=90°,从而点B∈α,
∴D1、E、F、B共面
∴D1、E、F三点确定一平面α,又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行,故分别延长D1E、DA相交于G,则G∈直线D1E⊂平面α,
∴G∈α.同理,设直线D1F与DC的延长线交于点H,则H∈平面α.
又∵点G、B、H均属于平面AC,且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1,从而AG=AD=AB,
∴△AGB为等腰直角三角形,
∴∠ABG=45°,同理∠CBH=45°,
又∵∠ABC=90°,从而点B∈α,
∴D1、E、F、B共面
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