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在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1).(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解
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在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.
将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1).
(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;
(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示.
①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;
②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).
![](https://www.zaojiaoba.cn/2015-11/10/1447122432.jpg)
将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1).
(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;
(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示.
①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;
②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).
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▼优质解答
答案和解析
(1)抛物线y=-x²+bx+c过点B(-1,2)和F(2,1),则:
2=-1-b+c;
1=-4+2b+c.
解得:b=2/3,c=11/3.故抛物线解析式为y=-x²+(2/3)x+11/3.
(2)①经过t秒时(0 DO=t,S矩形DEFG与矩形OABC重合部分面积S1=DO*DE=1*t=t;
y=-x²+(2/3)x+11/3的对称轴为X=1/3,设对称轴交X轴于M,则AM=AO+OM=1+1/3=4/3.
S⊿AQF=S⊿ABF-S⊿ABQ=AB*AG/2-AB*AM/2=2*(AO+DG-DO)/2-2*(4/3)/2=5/3-t.
∴S1+S2=t+(5/3-t)=5/3.
②在0 此时t=1或5/2,对应的点P坐标为(1/2,0)或(-5/2,0).
2=-1-b+c;
1=-4+2b+c.
解得:b=2/3,c=11/3.故抛物线解析式为y=-x²+(2/3)x+11/3.
(2)①经过t秒时(0
y=-x²+(2/3)x+11/3的对称轴为X=1/3,设对称轴交X轴于M,则AM=AO+OM=1+1/3=4/3.
S⊿AQF=S⊿ABF-S⊿ABQ=AB*AG/2-AB*AM/2=2*(AO+DG-DO)/2-2*(4/3)/2=5/3-t.
∴S1+S2=t+(5/3-t)=5/3.
②在0
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