已知函数f（x）=|2x-3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=|2x-3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a²+b的取值范围为______．

Answer 1

∵f（x）=|2x-3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a-3|=|2b+3|．
因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a-3＜2b+3，所以必须有4a-3和2b+3互为相反数．
∴4a-3+2b+3=0，故 b=-2a．
再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜-2a+1，即 0＜a＜(1)/(4)．
∴T=3a²+b=3a² -2a=3(a−(1)/(3))2-(1)/(3)．
此函数T在 （0，(1)/(4)）上是减函数，所以T（(1)/(4)）＜T＜T（0），即-(5)/(16)＜T＜0，
故答案为（-(5)/(16)，0）．