在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过O点作直线EF,GH

Question

在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过O点作直线EF,GH

Answer 1

在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE．
（1）如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由；
（2）如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是?；
（3）如图③,在（2）的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是?；
（4）如图④,在（3）的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由．
分析：（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
（2）当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形；
（3）当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同（2）；
（4）当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．
（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是▱ABCD的对称中心；
∴EO=FO,GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形；
∴▱ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC；
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF；
∴OG=OF,∴GH=EF；
由（1）知四边形EGFH是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH；
∴四边形EGFH是正方形．