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在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过O点作直线EF,GH

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在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过O点作直线EF,GH
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答案和解析
在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是?;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是?;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
分析:(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质;
(2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;
(3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);
(4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.
(1)四边形EGFH是平行四边形;
证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是▱ABCD的对称中心;
∴EO=FO,GO=HO;
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)菱形;
(3)菱形;
(4)四边形EGFH是正方形;
证明:∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形;
又∵AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形;
∴▱ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°;∴∠BOG=∠COF;
∴△BOG≌△COF;
∴OG=OF,∴GH=EF;
由(1)知四边形EGFH是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH;
∴四边形EGFH是正方形.