平行四边形ABCD中,∠BAD、∠ABC的平分线交于点F,延长BF交AD于点E（1）猜想AF与BE具有什么关系?说明你的猜想的正确性；（2）延长AF交BC于点G,连接CE,试判断四边形ABGE的形状.

Question

平行四边形ABCD中,∠BAD、∠ABC的平分线交于点F,延长BF交AD于点E
（1）猜想AF与BE具有什么关系?说明你的猜想的正确性；
（2）延长AF交BC于点G,连接CE,试判断四边形ABGE的形状.

Answer 1

1、AF⊥BE
证明
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF＝∠BAD/2
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF＝∠ABC/2
∴∠BAF+∠ABF＝∠BAD/2+∠ABC/2＝（∠BAD+∠ABC）/2＝90
∴∠AFB＝90
∴AF⊥BE
2、菱形ABGE
证明：
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF＝∠BAD/2
∵AF⊥BE,AF＝AF
∴△ABF全等于△AEF
∴BF＝EF
∴AF垂直平分BE
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF＝∠ABC/2
∵AF⊥BE,BF＝BF
∴△ABF全等于△GBF
∴AF＝GF
∴BF垂直平分AG
∴菱形ABGE （对角线互相垂直平分）