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对于函数f(x)=bx^3+ax^2-3x.若函数f(x)为实数R上的单调函数,且b>=-1,设点P的坐标为(a,b),试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.
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对于函数f(x)=bx^3+ax^2-3x.
若函数f(x)为实数R上的单调函数,且b>=-1,设点P的坐标为(a,b),试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.
若函数f(x)为实数R上的单调函数,且b>=-1,设点P的坐标为(a,b),试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.
▼优质解答
答案和解析
原函数求导得
f’(x)= 3bx^2+2ax-3.
原函数f(x)在实数R上是单调函数,要么单调递增,要么单调递减.
也就是说,导函数f’(x)要么恒为正,要么恒为负.
导函数是一个二次函数,那么相应地,其图像要么全在x轴上方,要么全在x轴下方.
一句话,导函数的判别式小于或等于0
△=(2a)^2-4*3b(-3)= 4a^2+36b≤0化简得
b≤-a^2/9 其中b≥-1(已知条件)
所以P点的轨迹为
y≤-x^2/9 (y≥-1)
它表示抛物线y= -x^2/9与直线y= -1所围成的一块区域.
两曲线联立求得交点为(-3,-1)(3,-1)
所求面积=∫《-3》《3》[(-x^2/9)-(-1)]dx
=(-x^3/27+x)∣《-3》《3》
=[-3^3/27+3]-[-(-3)^3/27+(-3)]
=(-1+3)-(1-3)
=4
(上式中∫为积分符号,第一个书名号为积分下标,第二个书名号为积分上标.)
f’(x)= 3bx^2+2ax-3.
原函数f(x)在实数R上是单调函数,要么单调递增,要么单调递减.
也就是说,导函数f’(x)要么恒为正,要么恒为负.
导函数是一个二次函数,那么相应地,其图像要么全在x轴上方,要么全在x轴下方.
一句话,导函数的判别式小于或等于0
△=(2a)^2-4*3b(-3)= 4a^2+36b≤0化简得
b≤-a^2/9 其中b≥-1(已知条件)
所以P点的轨迹为
y≤-x^2/9 (y≥-1)
它表示抛物线y= -x^2/9与直线y= -1所围成的一块区域.
两曲线联立求得交点为(-3,-1)(3,-1)
所求面积=∫《-3》《3》[(-x^2/9)-(-1)]dx
=(-x^3/27+x)∣《-3》《3》
=[-3^3/27+3]-[-(-3)^3/27+(-3)]
=(-1+3)-(1-3)
=4
(上式中∫为积分符号,第一个书名号为积分下标,第二个书名号为积分上标.)
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