已知函数f（x）=ax+b√（1+x^2)x≥0,且函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称,又f(√3)=2-√3,g(1)=0.求函数的值域.问这个函数求值域最后为什么需要进行分子有理化?

Question

已知函数f（x）=ax+b√（1+x^2)x≥0,且函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称,又f(√3)=2-√3,g(1)=0.
求函数的值域.
问这个函数求值域最后为什么需要进行分子有理化?

Answer 1

由g(1)=0,且函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称,可得f（0）=1

所以,由 f(√3)=2-√3 ①
f（0）=1 ②
解得 a=-1,b=1
故原式为;f（x）=-x+√（1+x^2)
=1/[x+√（1+x^2)]…………分式有理化
结合x≥0的条件,可知f（x）≤1,即值域为(0,1]
最后一步中,分式有理化的原因是为了更加直观的看出结果.其实,你也可以不进行有理化.这个不是硬性规定,只是为了解题的方便.