求X1+X2+X3+X4=15的非负整数解的组数?

Question

求X1+X2+X3+X4=15的非负整数解的组数?

Answer 1

这是一个与排列组合有关的题目,相信如果将题目改为“求X1+X2+X3+X4=15的正整数解的组数”,你一定会做.那么我们如何将此题转化为我们熟悉的情形呢?
其实我们可以这样转化：令X1+1=Y1;X2+1=Y2;X3+1=Y3;X4+1=Y4;由X1,X2,X3,X4
都是非负整数,所以Y1,Y2,Y3,Y4都是正整数.将X1=Y1-1,X2=Y2-1,X3=Y3-1,
X4=Y4-1代入X1+X2+X3+X4=15得Y1+Y2+Y3+Y4=19.则问题也就转化为“求Y1+Y2+Y3+Y4=19的正整数解的组数”.
实际上这个问题等价于“将19个球分成四堆,要求每一堆分得的球的个数大于等于1,问这样的分法有多少种?”.我们可以这样处理：将19个球排成一排,它们之间总共有18个空,在这18个空中任选3个空,然后用3块挡板插入这三个空中则将这一堆球分成了四份,我们约定这四堆球从左至右,第一堆对应到Y1；第二堆对应到Y2；第三堆对应到Y3；第四堆对应到Y4.则这样的分堆法的种数也就等于从18个空中任选3个的组合数,即(18X17X16)/(3X2X1)=816.
所以总共有816组数.