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设函数f（x）在区间[0，1]上连续，并设∫10f(x)dx＝A，求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy．
题目详情
设函数f（x）在区间[0，1]上连续，并设
f(x)dx＝A，求
dx
∫f(x)f(y)dy．
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
▼优质解答
答案和解析
【解法一】交换积分顺序，可得
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dy
f(x)f(y) dx
=
dx
f(y) f(x) dy （∵积分值与积分变量无关）
从而，
2
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dx
∫f(x)f(y)dy+
dx
f(y) f(x) dy
=
dx(
+
) f(x)f(y) dy
=
dx
f(x)f(y) dy
=
f(x)dx
f(y) dy
=A2．
所以
dx
∫f(x)f(y)dy=
A2 ．
【解法2】利用分部积分法．
I=
dx
∫f(x)f(y)dy
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | y 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | x 0 |
从而，
2
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | x 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
| ∫ | x 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
=A2．
所以
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
| 1 |
| 2 |
【解法2】利用分部积分法．
I=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
| ∫ | 1 0 |
- 名师点评
-
- 本题考点：
- 二重积分的计算；定积分的分部积分法．
-
- 考点点评：
- 本题是一个综合性比较强的题目．需要熟练掌握定积分的计算方法--交换积分次序法与分部积分法．题目综合性比较强，但是计算过程并不复杂．
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