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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设∫10f(x)dx=A,求∫10dx∫1x∫f(x)f(y)dy.
题目详情
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
f(x)dx=A,求
dx
∫f(x)f(y)dy.
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
▼优质解答
答案和解析
【解法一】交换积分顺序,可得
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dy
f(x)f(y) dx
=
dx
f(y) f(x) dy (∵积分值与积分变量无关)
从而,
2
dx
∫f(x)f(y)dy
=
dx
∫f(x)f(y)dy+
dx
f(y) f(x) dy
=
dx(
+
) f(x)f(y) dy
=
dx
f(x)f(y) dy
=
f(x)dx
f(y) dy
=A2.
所以
dx
∫f(x)f(y)dy=
A2 .
【解法2】利用分部积分法.
I=
dx
∫f(x)f(y)dy
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
∫ | 1 0 |
∫ | y 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | x 0 |
从而,
2
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
∫ | 1 0 |
∫ | x 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
∫ | x 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
=A2.
所以
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
1 |
2 |
【解法2】利用分部积分法.
I=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
=
∫ | 1 0 |
∫ | 1 x |
∫ | 1 0 |
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 二重积分的计算;定积分的分部积分法.
-
- 考点点评:
- 本题是一个综合性比较强的题目.需要熟练掌握定积分的计算方法--交换积分次序法与分部积分法.题目综合性比较强,但是计算过程并不复杂.
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_9aa60d0c74925bcb6235b44cec65f41e.jpg)
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_9aa60d0c74925bcb6235b44cec65f41e.jpg)
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