已知函数f(x)=xlnx+2,g(x)=x2-mx.(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(Ⅱ)若存在x∈[1e,e]使得mf'(x)+g(x)≥2x+m成立,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=xlnx+2,g(x)=x2-mx.
(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)若存在x∈[,e]使得mf'(x)+g(x)≥2x+m成立,求实数m的取值范围.
答案和解析
(Ⅰ)f'(x)=lnx+1,
令f'(x)>0,解得
x>;令f'(x)<0,解得0<x<,
∴f(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,
若t≥,则f(x)在[t,t+2]递增,
∴f(x)min=f(t)=tlnt+2;
若0<t<,则f(x)在[t,)递减,在(,t+2]递增,
∴f(x)min=f()=2-.
(Ⅱ)若存在x0∈[,e]使得mf'(x)+g(x)≥2x+m成立,
即存在x0∈[,e]使得m≤()max成立,
令k(x)=,x∈[,e],则k′(x)=,
易得2lnx+x+2>0,
令k'(x)>0,解得x>1;令k'(x)<0,解得x<1,
故k(x)在[,1)递减,在(1,e]递增,
故k(x)的最大值是k()或k(e),
而k()=-<k(e)=,
故m≤.
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