已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2-mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x²-mx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[(1)/(e)，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，
令f'（x）>0，解得x>(1)/(e)；令f'（x）<0，解得0<x<(1)/(e)，
∴f（x）在(0，(1)/(e))递减，在((1)/(e)，+∞)递增，
若t≥(1)/(e)，则f（x）在[t，t+2]递增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt+2；
若0<t<(1)/(e)，则f（x）在[t，(1)/(e))递减，在((1)/(e)，t+2]递增，
∴f(x)min=f((1)/(e))=2-(1)/(e)．
（Ⅱ）若存在x0∈[(1)/(e)，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，
即存在x0∈[(1)/(e)，e]使得m≤((2x-x2)/(lnx-x))max成立，
令k(x)=(2x-x2)/(lnx-x)，x∈[(1)/(e)，e]，则k′(x)=((x-1)(2lnx+x+2))/((lnx-x)2)，
易得2lnx+x+2>0，
令k'（x）>0，解得x>1；令k'（x）<0，解得x<1，
故k（x）在[(1)/(e)，1)递减，在（1，e]递增，
故k（x）的最大值是k((1)/(e))或k（e），
而k((1)/(e))=-(2e-1)/(e(e+1))<k(e)=(e(e-2))/(e-1)，
故m≤(e(e-2))/(e-1)．