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已知A,B为圆x^2+y^2-4x-6y+12=0的任一直径的两个端点,点P(-2,-1),则向量PA*向量PB=?
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已知A,B为圆x^2+y^2-4x-6y+12=0的任一直径的两个端点,点P(-2,-1),则向量PA*向量PB=?
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答案和解析
圆的方程：(x-2)^2+(y-3)^2=1,即圆心O坐标(2,3),半径为1
PO=(2,3)-(-2,-1)=(4,4),PA=PO+OA,PB=PO+OB
故：PA dot PB=(PO+OA) dot (PO+OB)=|PO|^2+OA dot OB+PO dot (OA+OB)
OA和OB在同一条直径上,故：|OA|=|OB|=1,且：OA+OB=0,即OA和OB是反向向量
故：OA dot OB=1*1*cos(π)=-1,所以,PA dot PB=|PO|^2-1=32-1=31
PO=(2,3)-(-2,-1)=(4,4),PA=PO+OA,PB=PO+OB
故：PA dot PB=(PO+OA) dot (PO+OB)=|PO|^2+OA dot OB+PO dot (OA+OB)
OA和OB在同一条直径上,故：|OA|=|OB|=1,且：OA+OB=0,即OA和OB是反向向量
故：OA dot OB=1*1*cos(π)=-1,所以,PA dot PB=|PO|^2-1=32-1=31
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