请阅读下列材料：问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面

Question

请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．

设路线1的长度为l₁，则l₁=AB+BC=2+8=10；
设路线2的长度为l₂，则l₂= √(AB2+BC2)= √(22+(4π)2)= √(4+16π2)；
∵l12-l22=10²-（4+16π²）=96-16π²=16（6-π²）<0
∴l12<l22即l₁<l₂
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l₁=___．路线2：l₂=___．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

Answer 1

（1）①l₁=4+2×2=8，
l₂=√(AB2+BC2)=√(16+4π2)；
②∵l12-l22=8²-（16+4π²）=48-4π²=4（12-π²）>0，
∴l12>l22，即l₁>l₂，
所以选择路线2较短．

（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，
路线1：l₁=4+h，路线2：l₂=√(h2+4π2)，
∵l12-l22=（4+h）²-（h²+4π²）
=16+8h+h²-h²-4π²
=16+8h-4π²
=4（2h+4-π²）
∴当2h+4-π²=0时，即h=(π2-4)/(2)时，l₁=l₂，两条路线一样长，选择哪条路线都可以；
当2h+4-π²>0时，即h>(π2-4)/(2)时，l₁>l₂，选择路线2较短；
当2h+4-π²<0时，即h<(π2-4)/(2)时，l₁<l₂，选择路线1较短．
故答案为：8、√(16+4π2)．