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对于任意的正整数n,所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么?
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对于任意的正整数n,所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么?
▼优质解答
答案和解析
n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2),
∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数,(2分)
∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数,(3分)
∴n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2)一定是6的倍数,(4分)
又∵n3+3n2+2n的最小值是6,(5分)
(如果不说明6是最小值,则需要说明n、n+1、n+2中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数,第三个不可能有公因数.否则从此步以下不给分)
∴最大公约数为6.(6分)
∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数,(2分)
∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数,(3分)
∴n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2)一定是6的倍数,(4分)
又∵n3+3n2+2n的最小值是6,(5分)
(如果不说明6是最小值,则需要说明n、n+1、n+2中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数,第三个不可能有公因数.否则从此步以下不给分)
∴最大公约数为6.(6分)
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