在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC

Question

在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC

Answer 1

易知cosx及sinx都不为0,则已知式等价于
cos(x+A)/cosx*cos(x+B)/cosx*cos(x+C)/cosx+1=0
等价于
(cosA-tanxsinA)(cosB-tanxsinB)(cosC-tanxsinC)+1=0
等价于
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=1/(sinAsinBsinC)
下证1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA):
右边等价于
(cotA+cotB+cotC)(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)-cotAcotBcotC
又由三角形中的三角恒等式
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
知右边等价于
cotA+cotB+cotC-cotAcotBcotC
等价于
(cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)
因此只需证
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC=1
而事实上
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC
=cosA(sinBsinC-cosBcosC)+sinA(cosBsinC+cosCsinB)
=cos²A+sin²A
=1
成立,所以1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)式得证.
因此得到
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)
等价于
(tan²x+cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
再次利用那个恒等式,即等价于
(tan²+1)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
因此必有
tanx=cotA+cotB+cotC