帮我解一到几何题半径为R的球的内接正四面体的高为H,则H/R=?答案是4/3

Question

帮我解一到几何题
半径为R的球的内接正四面体的高为H,则H/R=?
答案是4/3

Answer 1

设正四面体为ABCD,棱长为X,则底面三角形BCD的高为(√3)X/2,
设三角形BCD的中心为P,则DP=2/3*(√3)X/2=(√3)X/3.
由直角三角形APD可知,H^2=X^2-DP^2= X^2-[(√3)X/3]^2=2 X^2/3,
所以,X=(√6)H/2.
因球的球心O在AP上,连OD,作OK垂直AD于K,
则三角形DOK相似于三角形APD,HD/AD=DK/AP,
即R/[(√6)H/2]=[ (√6)H/4]/H=(√6)/4,
所以,R/H=3/4,即H/R=4/3.