已知圆c的圆心与点p（﹣2,1）关于直线y＝x＋1对称,直线与圆c相交于A.B两点.且|AB|=6,则圆c的方程.

Question

已知圆c的圆心与点p（﹣2,1）关于直线y＝x＋1对称,直线与圆c相交于A.B两点.且|AB|=6,则圆c的方程.

Answer 1

由题意设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,则：
由中点公式得圆心与点P的中点坐标为( (a-2)/2,(b+1)/2 ),直线CP的斜率为k=(b-1)/(a+2)
由圆心与点p（﹣2,1）关于直线y＝x＋1对称可知该中点在这条直线上
所以有：(b+1)/2 =(a-2)/2+1,即b=a-1
且(b-1)/(a+2) * 1＝-1,即：b=-a-1
所以解得a＝0,b＝－1
即圆心坐标为(0,-1)
又圆心到直线y=x+1即：x-y+1＝0的距离：
d=|0+1+1|/√2=√2
又由直线与圆c相交于A.B两点.且|AB|=6,可知：
(|AB|/2)²+d²=r²
则：r²=9+2=11
所以圆C的方程为：
x²+(y+1)²=11