如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当BEAE=12时，求证：EGFG=2；（3）若当BEAE=n

Question

如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为______，位置关系为______；
（2）当(BE)/(AE)=(1)/(2)时，求证：(EG)/(FG)=2；
（3）若当(BE)/(AE)=n时，(EG)/(GF)=√(2)，请直接写出n的值．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，CF⊥CE，
∴∠ECB=∠ACF．
又AC=BC，CE=CF，
∴△ECB≌△FCA．
∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，
又∠CBE+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，
即BE=AF，BE⊥AF．
（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S_△AEG=2S_△AFG，
∴EG=2GF，
∴(EG)/(FG)=2．
（3）由（2），得
当(BE)/(AE)=n时，S_△AEG=nS_△AFG，
则(BE)/(AE)＝ (EG)/(FG)，
∴当n=(√(2))/(2)时，(EG)/(GF)=√(2)．