正余弦的证明证明：（a^2-b^2-c^2)tanA+（a^2-b^2+c^2）tanB=0

Question

正余弦的证明
证明：（a^2-b^2-c^2)tanA+（a^2-b^2+c^2）tanB=0

Answer 1

由余弦定理
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以b^2+c^2-a^2=2bccosA
a^2-b^2-c^2=-2bccosA
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
所以a^2-b^2+c^2=2accosB
tanA=sinA/cosA,tanB=sinB/cosB
又由正弦定理
a/sinA=b/sinB=2R
所以sinA=a/2R
sinB=b/2R
所以(a^2-b^2-c^2)tanA+（a^2-b^2+c^2）tanB
=-2bccosA*sinA/cosA+2accosB*sinB/cosB
=-2bcsinA+2acsinB
=-2bca/2R+2acb/2R
=0