如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-12x+b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S

Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 y=-(1)/(2) x+b 交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O ₁ A ₁ B ₁ C ₁ ，DE=

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，试探究四边形O ₁ A ₁ B ₁ C ₁ 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b= (3)/(2) ；
若直线经过点B（3，1）时，则b= (5)/(2) ；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ (3)/(2) ，
此时E（2b，0）
∴S= (1)/(2) OE•CO= (1)/(2) ×2b×1=b；
②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 (3)/(2) ＜b＜ (5)/(2) ，
此时E（3，b- (3)/(2) ），D（2b-2，1），
∴S=S _矩 -（S _△OCD +S _△OAE +S _△DBE ）
=3-[ (1)/(2) （2b-2）×1+ (1)/(2) ×（5-2b）•（ (5)/(2) -b）+ (1)/(2) ×3（b- (3)/(2) ）]
= (5)/(2) b-b ² ，
综上所述，S=

b(1＜b≤(3)/(2) )

(5)/(2) b- b 2 ((3)/(2) ＜b＜(5)/(2) )

；

（2）如图3，设O ₁ A ₁ 与CB相交于点M，OA与C ₁ B ₁ 相交于点N，则矩形O ₁ A ₁ B ₁ C ₁ 与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM ∥ NE，DN ∥ ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a ² =（2-a） ² +1 ² ，
∴a= (5)/(4) ，
∴S _{四边形DNEM} =NE•DH= (5)/(4) ．
∴矩形OA ₁ B ₁ C ₁ 与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 (5)/(4) ．