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如图,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=-12x+b交折线OAB于点E.(1)记△ODE的面积为S,求S
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如图,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线 y=-
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式; (2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O 1 A 1 B 1 C 1 ,DE=
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答案和解析
(1)∵四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1), ∴B(3,1), 若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1. ①如图1,若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤
此时E(2b,0) ∴S=
![]() ②如图2,若直线与折线OAB的交点在BA上时,即
此时E(3,b-
∴S=S 矩 -(S △OCD +S △OAE +S △DBE ) =3-[
=
综上所述,S=
(2)如图3,设O 1 A 1 与CB相交于点M,OA与C 1 B 1 相交于点N,则矩形O 1 A 1 B 1 C 1 与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积. 由题意知,DM ∥ NE,DN ∥ ME, ∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∵∠MDE=∠NED, ∴∠MED=∠MDE, ![]() ∴MD=ME, ∴平行四边形DNEM为菱形. 过点D作DH⊥OA,垂足为H,设菱形DNEM的边长为a, 由题意知,D(2b-2,1),E(2b,0), ∴DH=1,HE=2b-(2b-2)=2, ∴HN=HE-NE=2-a, 则在Rt△DHN中,由勾股定理知:a 2 =(2-a) 2 +1 2 , ∴a=
∴S 四边形DNEM =NE•DH=
∴矩形OA 1 B 1 C 1 与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为
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