已知x1，x2，…xn∈R+，且x1x2…xn=1，求证：（2+x1）（2+x2）…（2+xn）≥（2+1）n．

Question

已知x₁，x₂，…x_n∈R₊，且x₁x₂…x_n=1，求证：（√(2)+x₁）（√(2)+x₂）…（√(2)+x_n）≥（√(2)+1）ⁿ．

Answer 1

证明：（ⅰ）当n=1时，√(2)+x₁=√(2)+1，不等式成立．
（ⅱ）假设n=k时不等式成立，即：（√(2)+x₁）（√(2)+x₂）…（√(2)+x_k）≥（√(2)+1）^k成立．
则n=k+1时，若x_k+1=1，则命题成立；若x_k+1＞1，则x₁，x₂，…，x_k中必存在一个数小于1，
不妨设这个数为x_k，从而（x_k-1）（x_k+1-1）＜0，即x_k+x_k+1＞1+x_kx_k+1．
x_k+1＜1同理可得，
所以（√(2)+x₁）（√(2)+x₂）…（√(2)+x_k+1）=（√(2)+x₁）（√(2)+x₂）…[2+√(2)（x_k+x_k+1）+x_kx_k+1]≥
（√(2)+x₁）（√(2)+x₂）…[2+√(2)（1+x_k+1）+x_kx_k+1]≥（√(2)+1）^k（√(2)+1）=（√(2)+1）^k+1，
故n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）及数学归纳法原理知原不等式成立．