如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．（1）写出图中一对全等三角形：；（2）求证：△BEF是等边三角形；（3）若菱形ABCD的

Question

如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．
（1）写出图中一对全等三角形：______；
（2）求证：△BEF是等边三角形；
（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为

2+√(3)≤m＜4

2+√(3)≤m＜4

（直接写出答案）；
（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N，且∠CBF=15°，试说明：MN²+CN²=AM²．

Answer 1

（1）如图1，△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD＝BC 

∠C＝∠BDE

DE＝CF

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）．
故答案可以是：△BDE≌△BCF．

（2）证明：如图1，∵由（1）知，△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；


（3）如图1，由（2）知，△BEF是等边三角形，则EF=BE=BF．
则m=DE+DF+EF=AD+BE．
当BE⊥AD时，BE最短，此时△DEF的周长最短
∵在Rt△ABE中，sin60°=(BE)/(AB)，即(BE)/(2)=(√(3))/(2)，
∴DE=√(3)．
∴m=2+√(3)．
当点E与点A重合，△DEF的周长最长，此时m=2+2=4．
综上所述，m的取值范围是：2+√(3)≤m＜4；
故答案是：2+√(3)≤m＜4；

（4）证明：如图2，把△BNC绕点B逆时针旋转120°，使CB与AB重合，N对应点为N′，连接MN′．则∠NBC=∠N′BA．
∴∠N′BA+∠EBA=60°=∠EBF．
在△N′BM与△NBM中，

BN＝BN′

∠N′BM＝∠NBM

BM＝BM

，
∴△N′BM≌△NBM（SAS），
∴N′M=NM，∠MN′B=∠MNB=45°．
又∵∠AN′B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°，
∴∠AN′M=135°-45°=90°，
∴MN²+CN²=AM²．