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如图(1),正方形ABCD中,点H从点C出发,沿CB运动到点B停止.连接DH交正方形对角线AC于点E,过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G.(1)求证:DH=FG;(2)在图(1)中延长FG与BC交于点P,连
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如图(1),正方形ABCD中,点H从点C出发,沿CB运动到点B停止.连接DH交正方形对角线AC于点E,过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G.
(1)求证:DH=FG;
(2)在图(1)中延长FG与BC交于点P,连接DF、DP(如图(2)),试探究DF与DP的关系,并说明理由.
(1)求证:DH=FG;
(2)在图(1)中延长FG与BC交于点P,连接DF、DP(如图(2)),试探究DF与DP的关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,过点F作FP垂直于DC,垂足为P,
∴∠FPD=90°,
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°,
∴四边形AFPD是矩形,
∴AD=FP,
∵EG⊥DH,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠3+∠4=90°,∠1=∠4,
∴∠2=∠3,
,∵∠FPG=∠BCD,FP=CD,
∴△FPG≌△DCH,
∴DH=FG.
(2)如图2,过点E分别作AD、BC的垂线,交AD、BC于点M、N,过E分别作AB、DC的垂线,交AB、CD于点R、T.
∵点E在AC上,可得四边形AREM、ENCT是正方形.(6分)
∴△FRE≌△DME≌△ENP,
∴FE=DE=EP,(8分)
又∵DE⊥FP,
∴DF与DP的关系为相等且垂直.(9分)
∴∠FPD=90°,
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°,
∴四边形AFPD是矩形,
∴AD=FP,
∵EG⊥DH,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠3+∠4=90°,∠1=∠4,
∴∠2=∠3,
,∵∠FPG=∠BCD,FP=CD,
∴△FPG≌△DCH,
∴DH=FG.
(2)如图2,过点E分别作AD、BC的垂线,交AD、BC于点M、N,过E分别作AB、DC的垂线,交AB、CD于点R、T.
∵点E在AC上,可得四边形AREM、ENCT是正方形.(6分)
∴△FRE≌△DME≌△ENP,
∴FE=DE=EP,(8分)
又∵DE⊥FP,
∴DF与DP的关系为相等且垂直.(9分)
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