已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程为（k-1）x+2y+5-3k=0．（1）求圆C的方程；（2）证明：直线l与圆C恒相交；（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Question

已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程为（k-1）x+2y+5-3k=0．
（1）求圆C的方程；
（2）证明：直线l与圆C恒相交；
（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Answer 1

（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0． …（2分）
由条件，得

1+9-D-3E+F=0

4+36+2D+6E+F=0

(-(D)/(2))+2×(-(E)/(2))-4=0

，解得

D=-4

E=-2

F=-20

，
∴圆C的方程为x²+y²-4x-2y-20=0． …（6分）
（2）由（k-1）x+2y+5-3k=0，得k（x-3）-（x-2y-5）=0，
令

x-3=0

x-2y-5=0

，得

x=3

y=-1

，即直线l过定点M（3，-1），…（8分）
由3²+（-1）²-4×3-2×（-1）-20＜0，知点M（3，-1）在圆内，
∴直线l与圆C恒相交．         …（10分）
（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短．
直线l被圆C截得的最短弦长为2√(52-[(2-3)2+(1+1)2])=4√(5)．…（14分）