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已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（0，2），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．（1）求证：BD∥AC；（2）当BD与AC的距离等于1时，求点C的坐标；（3）如果OE⊥AC于点E，当
题目详情
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（0，2），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．（1）求证：BD∥AC；
（2）当BD与AC的距离等于1时，求点C的坐标；
（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．
▼优质解答
答案和解析
（1）∵A（0，4），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点，
∵点D为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，
∴BD∥AC；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，3），
∵BD∥AC，BD与AC的距离等于1，
∴BF=1，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，点G为AB的中点，
∴FG=
AB=BG=1，
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°．
∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，
根据勾股定理得：OA=
=
x，
∵OA=4，
∴x=
，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（
，0）；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，
∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴OE=EC，
∵OE⊥AC，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=4，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（4，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将A（0，4），C（4，0）得：
，
解得：
∴OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点，
∵点D为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，
∴BD∥AC；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，3），∵BD∥AC，BD与AC的距离等于1，
∴BF=1，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，点G为AB的中点，
∴FG=
| 1 |
| 2 |
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°．
∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，
根据勾股定理得：OA=
| AC2−OC2 |
| 3 |
∵OA=4，
∴x=
4
| ||
| 3 |
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（
4
| ||
| 3 |
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴OE=EC，
∵OE⊥AC，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=4，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（4，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将A（0，4），C（4，0）得：
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解得：
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