已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t

Question

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向 以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？
（3）若⊙P的半径为 (8)/(5) ，⊙Q的半径为 (3)/(2) ；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标．

Answer 1

（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD= (4×3)/(5) = (12)/(5) ，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC 2 - CD 2

= (16)/(5) ，
∴C（ (16)/(5) ， (12)/(5) ），
又∵A（5，0），
∴直线AC解析式为：y=- (4)/(3) x+ (20)/(3) ；

（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△APQ ∽ △OAC，
故 (AQ)/(AP) = (OC)/(OA) = (4)/(5) ，
∴ (2t-5)/(t) = (4)/(5) ，
∴t= (25)/(6) ，
∵t＞2.5，
∴t= (25)/(6) 符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ ∽ △OAC，
故 (AQ)/(AP) = (OC)/(OA) = (4)/(5) ，
∴ (t)/(2t-5) = (4)/(5) ，
∴t= (20)/(3) ，
∵t＞2.5，
∴t= (20)/(3) 符合条件．
综上可知，当t= (25)/(6) 或 (20)/(3) 时，△OAC与△APQ相似．

（3）⊙Q与直线AC、BC均相切．
如图，设⊙P与AC相切于点M，则PM ∥ OC，
∴ (PM)/(OC) = (PA)/(OA) ，即 (8)/(5) ×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P点运动时间为3÷2= (3)/(2) 秒，
故Q点运动时间为 (3)/(2) 秒，此时AQ= (3)/(2) ，
BQ=4- (3)/(2) = (5)/(2) ，
过Q点作QN⊥BC，垂足为N，则△BQN ∽ △BCA，
(QN)/(QB) = (AC)/(BC) ，即 (QN)/((5)/(2)) = (3)/(5) ，
解得QN= (3)/(2) ，
则AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q与直线AC、BC均相切．
此时，Q点坐标为（ (31)/(5) ，(9)/(10) ）．