如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．

Question

如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AE=3BE=9，求AD的长；
（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．

Answer 1

（1）作CF⊥AD的延长线于F，
∴∠F=90°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=∠CEB=90°，
∴∠F=∠CEA=∠CEB．
∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°
∴∠CDF=∠B．
在△CDF和△CEB中

∠F＝∠CEB

∠CDF＝∠B

CD＝CB

，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴CF=CE．
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD；
（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中

CF＝CE

AC＝AC

，
∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），
∴AF=AE．
∵△CDF≌△CEB，
∴DF=EB．
∵3BE=9，
∴BE=3，
∴DF=3．
∵AD=AF-DF，
∴AD=AE-DF．
∵AE=9，
∴AD=9-3=6；
（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，
∴S_△CAF=S_△CAE，S_△CDF=S_△CEB．．
设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得
24+x=36-x，
∴x=6，
答：△BCE的面积为6．