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如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在边BC、CD上.(1)若AB=4,试求菱形ABCD的面积;(2)若∠AEF=60°,求证:AB=CE+CF.
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(1)若AB=4,试求菱形ABCD的面积;
(2)若∠AEF=60°,求证:AB=CE+CF.
▼优质解答
答案和解析
(1)在菱形ABCD中,AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=4,
∴等边△ABC底边BC上的高为4×
=2
,
∴菱形ABCD的面积=4×2
=8
;
(2)证明:如图,将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B,则△AEE′为等边三角形,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403016-3785.jpg)
∴∠AE′E=60°,
∵∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°,
又∵∠BE′E=∠AE′B-∠AE′E=∠AE′B-60°,
∴∠BE′E=∠CEF,
∵∠B=60°,菱形的对边AB∥CD,
∴∠ECF=180°-60°=120°,
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°,
∴∠E′BE=∠ECF,
在△EE′B和△FEC中,
,
∴△EE′B≌△FEC(ASA),
∴BE=CF,
∴BC=CE+BE=CE+CF,
∵AB=BC,
∴AB=CE+CF.
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=4,
∴等边△ABC底边BC上的高为4×
| ||
2 |
3 |
∴菱形ABCD的面积=4×2
3 |
3 |
(2)证明:如图,将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B,则△AEE′为等边三角形,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403016-3785.jpg)
∴∠AE′E=60°,
∵∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°,
又∵∠BE′E=∠AE′B-∠AE′E=∠AE′B-60°,
∴∠BE′E=∠CEF,
∵∠B=60°,菱形的对边AB∥CD,
∴∠ECF=180°-60°=120°,
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°,
∴∠E′BE=∠ECF,
在△EE′B和△FEC中,
|
∴△EE′B≌△FEC(ASA),
∴BE=CF,
∴BC=CE+BE=CE+CF,
∵AB=BC,
∴AB=CE+CF.
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