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如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(1)求证:DE⊥AG;(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O
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如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
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(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,延长ED交AG于点H,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534598422-7040.jpg)
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=
OG=
OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=
=
,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534598422-1182.jpg)
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°-30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=
,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=
,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=
+2,
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
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∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
|
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=
OA |
OG′ |
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2 |
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
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∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°-30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=
| ||
2 |
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=
2 |
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=
| ||
2 |
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
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