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已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x(1)记P=[x,Ax,A2x],求三阶矩阵B使得A=PBP-1;(2)计算行列式|A+E|,其中E为三阶单位矩阵.
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已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x
(1)记P=[x,Ax,A2x],求三阶矩阵B使得A=PBP-1;
(2)计算行列式|A+E|,其中E为三阶单位矩阵.
(1)记P=[x,Ax,A2x],求三阶矩阵B使得A=PBP-1;
(2)计算行列式|A+E|,其中E为三阶单位矩阵.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于向量组x,Ax,A2x线性无关,因此P=[x,Ax,A2x]可逆.
∴AP=(AX,A2X,A3X)=(AX,A2X,3AX-2A2X)
∴三阶矩阵B使得A=PBP-1,则PB=AP
即PB=(AX,A2X,3AX-2A2X)
设B=
,则
PB=(b11X+b21AX+b31A2X,b12X+b22AX+b32A2X,b13X+b23AX+b33A2X)
∴容易求得
B=
(2)|A+E|=|PBP(-1)+E|=|P(B+E)P(-1)|=|B+E|=-4
其中B+E=
∴AP=(AX,A2X,A3X)=(AX,A2X,3AX-2A2X)
∴三阶矩阵B使得A=PBP-1,则PB=AP
即PB=(AX,A2X,3AX-2A2X)
设B=
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PB=(b11X+b21AX+b31A2X,b12X+b22AX+b32A2X,b13X+b23AX+b33A2X)
∴容易求得
B=
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(2)|A+E|=|PBP(-1)+E|=|P(B+E)P(-1)|=|B+E|=-4
其中B+E=
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