关于数学椭圆的问题中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为“根号3”/2,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点（1）求椭圆的方程（2）求△MON的面积（要详细

Question

关于数学 椭圆的问题
中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为“根号3”/2,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点
（1）求椭圆的方程
（2）求△MON的面积
（要详细过程哦!）

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
e=c/a=√3/2
c^2/a^2=3/4
(a^2-b^2)/a^2=3/4
a^2=4b^2
x^2/4b^2+y^2/b^2=1
即x^2+4y^2=4b^2
与直线方程联立得
5y^2-2y+1-4b^2=0①
设M(x1,y1) N(x2,y2)
以MN直径的圆经过坐标原点
可知OM与ON垂直
即x1x2+y1y2=0
(1-y1)(1-y2)+y1y2=0
2y1y2-(y1+y2)+1=0②
由①得y1+y2=2/5 ,y1y2=(1-4b^2)/5
代入②得b^2=5/8
则a^2=5/2
因此椭圆方程2x^2/5+8y^2/5=1
然后用公式求出MN的长.MN=根号(1+k^2)*|x2-x1|
再求出原点O到直线的距离d=|-1|/根号2=根号2 /2
面积=S=1/2*MN*d